2つの封筒があり、それぞれにお金が入ってます。片方の封筒に入っている金額が、もう片方の封筒に入っている金額の2倍となっていることが分かっています。あなたは、最初にどちらか片方の封筒を選び、中身を見る事ができます。その後、改めてどちらの封筒を選ぶか決めることができます。二度目に選んだ封筒の中身をもらうことができます。
(1) 最初の封筒に1万円入っていました。この時、封筒を交換する方が得か、交換しない方が得か、あるいはどちらでも同じか？
(1) 最初の封筒に1万円入っていました。この時、封筒を交換する方が得か、交換しない方が得か、あるいはどちらでも同じか？
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コメントの続き（11〜52件目）
一年前まで同僚でした
すごい懐かしい
昔の経済学 人=全員※5
今の経済学 人=※6みたいな人を考慮した修正※5
関係ないけど※5の数理モデルを考えた人は、
フォンノイマンで、やはりこれもユダヤ系だね
最初に選んだ封筒を封筒Aとすると、ランダムに封筒を選んだことから、封筒Aが金額の小さい封筒である確率は1/2金額の大きい封筒である確率は1/2です。
すると、もう片方の封筒Bに入っている金額は、1/2の確率で2万円、1/2の確率で5000円となります。
したがって、封筒Bに入っている金額の期待値は 1/2*20000+1/2*5000=12500 より、12500円となります。封筒Aを封筒Bに交換する事で、期待値が2500円増えますから、交換する方が得です。
結果でしかない１万円と、期待値の１万２５００円を比べるのって正しいのか？
だって１万の封筒引く前の期待値って別に１万だったわけじゃなくね？中身分からなかったわけだし
期待値を計算するとどちらもが交換した方が良い、
という直感と反する結論が出るところがこの話のミソ。
あと交換する方が期待値込みで12,500円だから得って言ってるけど
交換して中身が5,000円だったとしても得なの？
宝くじ全部外れて「でも俺は夢を買ったんだ」っていうような話？
それとも実際には1/2の確率で5,000円と20,000円が出るから損をする人と得をする人の数は同じだけど
10,000円を基準に金額ベースで考えたら得の場合の金額の方が多いってこと？
解説聞いても話の本質がわからん
でもこれはそうやって考えていいのかなぁ？と、回答読んでも「ああ、なるほど！」と思えない。
モンティホール問題はまだ納得できた。
あれは勝率が1:2になるからな。
でも今回のは確率が1:1なので、どうしても賭けになるんじゃない？
だったら1万円でも普通に美味しいじゃない。
この場でやめるのが吉。
交換しない輩が、多いんだよね。ぅーん
だめだよぉー
こっから出てくるのはなんだぁー？接点ｔ、(a,b)を通るように引いたときのぉ！接点ｔ！
だからぁー、この点とこの点とこの点が出るわけだぁー。
この点は出ねえよぉぉ！(a,b)通らない接線なんだからぁー。ぉーん。
特別な事情などないなら、期待値が最大化する「替える」が一般には得だろう。
あとは、例えば、多くの人が同じかけをしていて、後で合計金額をシェアできるという場合は「替える」が正解だね。
でも例えば、一万円無いと必要な買い物ができないというような時は「替えない」が正解になる。お金以外の大きな事が決まってしまうから。
未来のことって不確定だから、今の心情を考慮した計算法に置き換えるしかないんだけど、その方法を経済学者は多く知ってるというだけで、何が正解かは誰もわからない。
ただ、これが一回こっきりのチャンスで、すでに確定している一万円と損する可能性もある未確定の封筒を比べるとなると一概に交換した方がいいとは言えないだろうな
差額分の金額抜きにして、損する可能性も得する可能性も同じ50％だから
もしこれが正しいとするとこんな
奇妙な論理も成り立つ事になるのでは？
あなたから見て右の封筒を選ぶのが得です。
何故なら、仮に左の封筒の金額をN円と仮定
すると右の封筒に入ってる金額は1/2でN/2、
1/2で2N、つまり右の封筒の金額の期待値は
1.25N円であるため左の封筒のN円とより得
となるからです。
でもこれって左と右と言う言葉を
入れ替えても成り立つんだよね…
誰か矛盾点を指摘してくれ…。
>左の封筒の金額をNと仮定すると
左と右の言葉を変えたとしても、
仮定も含めて変わるから、成立するよね
矛盾点はないよ
というか、確率1/2だからって単純に両方足して2で割れば良いというのは違う気がする
じゃあもし片方の封筒が5000円のパターン、8000円のパターン、20000円のパターンの３種類あったとしたら、それぞれが1/3の確率だから(5000＋8000＋20000)÷3で11000だから交換した方が1000円高くてお得ということになるのだろうか？
2/3の確率で損することになるが
期待値を勉強してごらん。
こうなる。簡単にするために、１０００円 ２０００円 ４０００円 ８０００円しかないとして
１０００円→必ず１０００円得 ２０００円→（２０００円-１０００円）１０００円得
４０００円→（４０００円-２０００円）２０００円得 ８０００円→必ず４０００円損
１０００円得+１０００円得+２０００円得＝４０００円損
つまり、最高額が無いor自分が引いた封筒が最高額でないなら交換したほうが得ってだけだよ
が無限のかなたに吹っ飛ぶから、直感に反して交換したほうが必ず儲かり、誰も損しない。
何が得かという議論は、未来にわかる
結果論でしかないので議論は無意味で、
「今、満足いく意思決定は何か」、
という問題に置き換えて議論するしかない。
たとえ期待値を最大化できても、
一万円が必要十分に欲しい人にとっては、
無意味な意思決定でしかないしね。
だからこの問題は、
そもそも正解があることがおかしいわけ。
期待値最大化して幸せになる人と、
そうでない人がいる。
このコメ欄がその良い例になってる。
2万円(5000円札×2,1万円札×1)
5千円(2000円札×2,千円札×1)
米35だが自分のモヤモヤしてる部分が
すっきりした。
上下の制約が無い場合に直感と反する
結論が成り立つ訳か。ありがとう。
この問題はプロの数学者の間でも一致した見解はない。
せいぜい、確率分布が決まっていないので計算できないと逃げるだけ。
ちなみに、現役の大学教授（数学）でも、
相加平均でなく相乗平均を使うと交換しても損得無しなんてトンデモ説を披露したりする。
↓
チューリングと超パズル: 解ける問題と解けない問題（東京大学出版会 (2013/11/30)）
素人はかかわらないほうが無難。
これを
最初に選んだ封筒に｢奇数円入っていた場合｣
と｢偶数円入っていた場合｣に場合分けすることが出来る
｢奇数円入っていた場合｣にはこの半額というのは有り得ないので
最初に選んだ封筒が安い封筒である(交換すれば倍額になる)確率は100%になる
さてそうなると｢偶数円入っていた場合｣に最初に選んだ封筒が
安い封筒である確率は50%未満であることが確定する
仮に｢偶数円入っていた場合｣に安い封筒である確率が50%とすると
｢奇数円入っていた場合｣が100%である分だけ
全体の確率が50%を上回ってしまい､最初の前提に反するためである
よって｢1万円入っていた場合｣にこれが安い封筒である確率を
無条件に50%として計算するのは誤りである
胴元が２つの封筒に入れたのは
＜１万と２万＞か＜１万と五千円＞のいずれかの組み合わせしかない。
奇数の話は無関係。
したがって、
>よって｢1万円入っていた場合｣にこれが安い封筒である確率を
>無条件に50%として計算するのは誤りである
は完全に誤りである。
そのそれぞれが50%であることを担保するものは何もないってこと
・その２通りの優劣に関して全く情報がない。
となると、それぞれの選択確率が５０％以外であることの理由がない。
結果的に５０％とする以外にない。