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漢和辞典によると

象形文字。漢代の「通俗文」の「御覧七〇二引」に「帛(ヌノ)を張りて雨を避くるを繖蓋(サンガイ)といふ」とある。
繖は「糸＋音符(散)」の会意兼形声文字で、これが古い字。
俗字の傘(サン)は、かさの形を描いたもの。
サンという音は、山（△型をしたやま、水がわかれ落ちる分水嶺）散（ばらばらにわかれちる）と同系で、傘は、雨水が△型のかさによってわかれちることに着目した命名である。 

とあります。

つまり、人ではなく、水が流れる形の象形と言う事なのでしょう。